Fonctions holomorphes

Il s'agit d'un cours d'introduction à la théorie des fonctions d'une variable complexe. La dérivabilité de ces fonctions (au sens complexe) entraine des propriétés d'analyse remarquables.

• fonctions holomorphes, équations de Cauchy-Riemann.
• rappels sur les séries entières, fonctions analytiques, principe des zéros isolés ;
• fonction exponentielle, fonction Logarithme ;
• intégrale le long d’un chemin, primitive locale d’une fonction holomorphe, formule de Cauchy pour un cercle ;
• analycité d’une fonction holomorphe,
• formule de la moyenne, principe du maximum, théorème de Liouville; démonstration du théorème de d’Alembert-Gauss ;
• invariance de l’intégrale d’une fonction holomorphe par homotopie de lacets
• indice d’un point par rapport à un lacet
• formule de Cauchy ;
• fonction méromorphe, pôles ;
• théorème des résidus et applications (dont le théorème de Rouché).

Elias M. Stein and Rami Shakarchi. Complex analysis, volume 2 of Princeton Lectures in Analysis. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003.