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    Mathématiques financières

    • ECTS

      6 crédits

    • Composante

      UFR Mathématiques

    • Volume horaire

      9h

    • Période de l'année

      Semestre 2

    Description

    • Pricing d'options Européennes dans un modèle discret à plusieurs périodes; cas du modèle de Cox-Ross-Rubinstein
    • Arrêt optimal et application au pricing d'options Américaines
    • Introduction au mouvement brownien et au calcul stochastique d'Itô.
    • Pricing d'options dans le modèle de Black et Scholes

    Sommaire

    1. Notions de base en mathématiques financières: taux d'intérêt, taux composés, capitalisation, prêts, actualisation, opportunité d'arbitrage, prix d'arbitrage
    2. Présentation de deux types de produits dérivés:
      • les contrats à terme: calcul de leurs prix d'arbitrage.
      • les options: option d'achat (call), option de vente (put)...
    3. Modèles
      • Modèle à une période: titres de référence, stratégies de portefeuille, arbitrage, probabilité risque-neutre, prix d'une option Européenne, stratégie de couverture.
      • Modèle d'arbre à plusieurs périodes (Cox-Ross-Rubinstein): probabilité risque-neutre, évaluation et couverture des options Européennes et des options Américaines.
    4. Modèle de marché financier en temps discret dans le cas général:
      • Le modèle, opportunité d'arbitrage, probabilités martingales.
      • Théorème de caractérisation de la propriété d'absence d'opportunité d'arbitrage par l'existence d'une probabilité martingale.
      • Théorème de caractérisation de la propriété de complétude d'un marché (sans arbitrage) par l'unicité de la probabilité martingale.
      • Evaluation et couverture des options Européennes dans un marché sans arbitrage complet.
    5. Théorie de l'arrêt optimal:
      • Caractérisation de la fonction valeur comme la plus petite surmartingale majorant le processus payoff (enveloppe de Snell). Existence d'un temps d'arrêt optimal.
      • Application à l'évaluation et a` la couverture des options Américaines dans un marché sans arbitrage complet. Temps d'exercice optimal.
    6. Introduction au calcul stochastique à temps continu.
      • Processus stochastiques, martingales à temps continu, mouvement Brownien.
      • Intégrale stochastique par rapport au mouvement Brownien, théorème de Girsanov.
    7. Modèle de Black et Scholes: probabilité martingale, formule d' évaluation risque-neutre, formule de Black et Scholes.
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    Heures d'enseignement

    • Mathématiques financièresCours Magistral4h
    • Mathématiques financières5h

    Syllabus

    Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, B. Lapeyre et D. Lamberton, Ellipses.

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