Mathématiques financières

• Pricing d'options Européennes dans un modèle discret à plusieurs périodes; cas du modèle de Cox-Ross-Rubinstein
• Arrêt optimal et application au pricing d'options Américaines
• Introduction au mouvement brownien et au calcul stochastique d'Itô.
• Pricing d'options dans le modèle de Black et Scholes

Sommaire

1. Notions de base en mathématiques financières: taux d'intérêt, taux composés, capitalisation, prêts, actualisation, opportunité d'arbitrage, prix d'arbitrage
2. Présentation de deux types de produits dérivés:
   • les contrats à terme: calcul de leurs prix d'arbitrage.
   • les options: option d'achat (call), option de vente (put)...
3. Modèles
   • Modèle à une période: titres de référence, stratégies de portefeuille, arbitrage, probabilité risque-neutre, prix d'une option Européenne, stratégie de couverture.
   • Modèle d'arbre à plusieurs périodes (Cox-Ross-Rubinstein): probabilité risque-neutre, évaluation et couverture des options Européennes et des options Américaines.
4. Modèle de marché financier en temps discret dans le cas général:
   • Le modèle, opportunité d'arbitrage, probabilités martingales.
   • Théorème de caractérisation de la propriété d'absence d'opportunité d'arbitrage par l'existence d'une probabilité martingale.
   • Théorème de caractérisation de la propriété de complétude d'un marché (sans arbitrage) par l'unicité de la probabilité martingale.
   • Evaluation et couverture des options Européennes dans un marché sans arbitrage complet.
5. Théorie de l'arrêt optimal:
   • Caractérisation de la fonction valeur comme la plus petite surmartingale majorant le processus payoff (enveloppe de Snell). Existence d'un temps d'arrêt optimal.
   • Application à l'évaluation et a` la couverture des options Américaines dans un marché sans arbitrage complet. Temps d'exercice optimal.
6. Introduction au calcul stochastique à temps continu.
   • Processus stochastiques, martingales à temps continu, mouvement Brownien.
   • Intégrale stochastique par rapport au mouvement Brownien, théorème de Girsanov.
7. Modèle de Black et Scholes: probabilité martingale, formule d' évaluation risque-neutre, formule de Black et Scholes.

Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, B. Lapeyre et D. Lamberton, Ellipses.